This is a digital copy of a book that was preserved for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's books discoverable online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that 's often difficult to discover.
Marks, notations and other marginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book' s long journey from the
publisher to a library and finally to y ou.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.
We also ask that y ou:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for
Personal, non-commercial purposes.
+ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine
translation, optical character récognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.
+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any spécifie use of
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
any where in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web
at |http : //books . google . corn/
A propos de ce livre
Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.
Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.
Les notes de bas de page et autres annotations en marge du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.
Consignes d'utilisation
Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages appartenant au domaine public et de les rendre
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine.
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées.
Nous vous demandons également de:
+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers.
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un
quelconque but commercial.
+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter. Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.
+ Ne pas supprimer r attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en
aucun cas.
+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.
À propos du service Google Recherche de Livres
En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer
des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adresse ] ht tp : //books .google . corn
^^
lo'.?'
PHILLIPS LIBRARY
OF
HARVARD COLLEGE OBSERVATORT
WOuV^H urn^ry
JOHN
hahvaho colle X oascr^ V. .
80QAHD6hî8TRi£tET
:::Hy
TABLES DE LOGARITHMES
A 27 bÉCIMALES
/
— 2 —
49 et 43; cest-à-dire, pour cent nombres naturels consécutifs
on na que 43 ou au plus 49 logarithmes différents; par con-
séquent entre 9 000 000 et 9 999 999 il y a toujours deux
ou trois nombres consécutifs qui ont le même logarithme;
aussi, parmi les nombres naturels compris entre ces deux
limites, y en a-t-il plus de la moitié qu'on ne peut jamais
obtenir à l'aide des logarithmes à 7 décimales.
Ainsi par exemple :
log 9780533 j
log 9780684 / =6, 99o3648
log 9780685 )
Réciproquement, si Ton cherche le nombre dont le loga-
rithme est 6,99o3648, on trouve 9780684; mais on ne
pourra jamais obtenir à l'aide des tables à sept décimales ni le
nombre 9780683, ni le nombre 9780685.
En général^ tout logarithme contenu dans la table est
susceptible d'une erreur par excès ou par défaut d'une demi-
unité; l'interpolation y ajoute une seconde erreur qui peut
s'élever également à une demi-unité: par conséquent tout loga-
rithme extrait directement de la table peut être en erreur d'une
unité.
Exemple : On demande d'évaluer par les logarithmes
_ 321^73x819255
""452604 X595ii8
log 321473 = 5,6071446
log 8 192 55 = 5,9 134192
comp. log 462604 = 4,3442817
comp. log 6961 18 = 4.2263970
logx = 9, 9902426
donc a?=o, 9777831
— 3 —
Tous ces logarithmes ont été déterminés avec toute l'exacti-
tude que comportent les tables à sept décimales, et pourtant
chacun d'eux est en défaut de près d'une unité.
Le résultat exact est
loga:= 9,9902^21 et a:=:o, 9777822
ce qui constitue une erreur de neuf unités du dernier ordre
dans le résultat obtenu à l'aide des logarithmes à 7 décimales.
En général, pour trouver avec n décimales le logarithme
d'un nombre donné par approximation, il faut connaître les
(n+ 1) premiers chiffres de ce nombre; et réciproquement, si
le nombre est demandé avec n chiffres, il faut connaître
(n+ 1) décimales du logarithme.
_ 4 —
II
RECHERCHE DU LOGARITHME
PAR LA MÉTHODE DES RÉCIPROQUES APPROCHES.
Dans tout logarithme vulgaire on distingue deux parties : le
nombre entier ou caractéristique, et la partie décimale ou mantisse.
La caractéristique renferme toujours autant d'unités moins une
qu'il y a de chiffres à la partie entière; on l'obtient par la simple
inspection du nombre.
La mantisse, seule partie du logarithme que l'on inscrive dans les
tables, est aussi la seule qu'il faut calculer et dont par conséquent
nous ayons à nous occuper.
On sait que la mantisse est complètement indépendante de la
position de la virgule décimale dans le nombre; on pourra donc con-
sidérer les nombres indépendamment de la position de la virgule;
il en sera de même des facteurs auxiliaires par lesquels nous aurons
à les multiplier : par conséquent, dans les calculs qui vont suivre, on
placera ia virgule décimale du nombre dont on cherche le loga-
rithme, ainsi que celles des facteurs, de la manière qui semblera la
plus commode, soit pour le raisonnement, soit pour le calcul.
NOTATION.
Pour faire usage de nos tables, nous emploierons une notation
qui facilite considérablement le calcul, et qui ne peut donner lieu à
aucune équivoque; pour la faire comprendre immédiatement, il
suffit d'en donner quelques exemples avecla traduction en regard.
\
— 5 —
Ainsi o,o'8 signiGe 0,0008
1,0*8 » 1,00008
1,0*8 » 1 — 0,00008 = 0,99992
Les nombres donnés sous cette forme servent de multiplicateurs;
mais les multiplications sont très-faciles.
Pour effectuer la multiplication d'un nombre décimal quelconque
par un nombre de la forme (i ±-^K on sépare d'abord du multi-
plicande les n derniers chiffres, ce qui équivaut à la division par 10°;
puis on multiplie les chiffres qui restent, par le facteur a; le résultat
de la multiplication ajouté ou soustrait, suivant le signe de a, donne
le produit demandé.
Exemple 1. Soit à multiplier 1,00006.56177 par 1,0002
1,00006 55177 X 1,0^2
2 i3i
Produit = 1 ,00026.55308
Ex. 2. Multiplier 0,99997.034567 par i,oooo3
o, 99997. 034567X 1,0*3
2.999911
Produit = 1,0^34478
Ex. 3. Multiplier 1,00000.047 1 2. 5 1 683 1 par 0,9999996
1,0^4 712.51 683 IX 1,0^4
4 i885
Produit— 1, 0^712.514946
— 6
LOGARITHME DE (l ±6).
Désignons par e la base des logarithmes naturels :
e=2+^ + r^-f
2 2.3 2.3.4
e = 2,7 I 82818284» . -,
et parAson logarithme vulgaire, Â: = loge = o, 43429. . . (lab. I.): le
nombre k s^appelle \e modale des logarithmes vulgaires.
Lorsqu'un nombre diffère peu de Tunité, soit en plus, soit en
moins, de manière que les n premiers chiffres après la virgule déci-
male soient tous des zéros, ou tous des 9, son logarithme à 2/1
chiffres est égal au module multiplié par la fraction décimale qui
est la différence entre ce nombre et l'unité, ou
log [i+e)=ke ^
et
\o^[i-e)=-ke
Ainsi, on trouve avec dix décimales exaclcs :
log i,ooooo4= 0,00000.17372
^% o,999996 = ~o,ooooo.i7372 1=9,99999.82628
La première partie de la table III contient les 110 premiers mul-
tiples de i, et donne, soit directement, soit à l'aide d'une simple
addition, les logarithmes à 271 décimales de tous les nombres com-
posés de l'unité suivie de n zéros au moins, et de tous les nombres
commençant par n chiffres 9.
On prendra les chiffres de la fraction décimale deu)^ à deux , et
l'on écrira au-dessous le produit parle module, produit qui sera tou-
jours un peu moindre que la moitié du nombre exprimé par les
deux chiffres.
En, 4. On demande avec 13 décimales log 1,000000.349689
Ce logarilhme est égal à 4x0,0^349689
1,0^349689
147660.1 pour 34 (table III)
4169.2 » ■ 96
38.7 » 89
donc log 1,0^349689 = 0,0^1 5 1868
Ex. 5. On demande avec 12 décimales log 999999660311.
On a o, 999999. 65o3i 1 = 1 —0,0*349689; donc son logarithme
sera égal à — /fX 0,0*349689, ou, d'après l'exemple précédent, égal
à— o,o^'i5i868; d'où log 99999966031 1 = 1 1,999999.848132.
Ex. 6. On demande avec 27 décimales le logarithme de :
1,0^*1 1 2233.44551.09
47772.39300.936
955.44786.019
14.33171.790
19108.967
238.862
473
donc log=: 0,0^^48742.36607.04
Ex. 7. On demande avec 27 décimales le logarithme de :
0'99999-99999-99998-87766.55448.9i
Ce nombre est égal à 1 — 0,0^*1.1 2233. 44661.09 ; et comme
la Fraction décimale est égale à celle de l'exemple précédent, mais de
signe contraire, le Idgarithme qu'on cherche sera négatif et égal au
logarithme de l'exemple 6. Le logarithme demandé sera donc
=—0,0^^8742.36607.04
o"=9^99999-99999'99999'5i 267.63392.96.
Ainsi donc, cette seule table des i oo premiers multiples de k suffit
pour donner par de simples additions les logarithmes avec 27 ou
avec moins de 27 décimales de i43 trillions(i43.io^^) de nombres.
•RECIPROQUES APPROCHÉS.
Puisqu'on connaît directement le logarithme de (1 ±0), lorsque 6
est suffisamment petit, il est évident que Ton connaît également le
logarithme de tout autre nombre, lorsqu'en le multipliant par un ou
plusieurs facteurs compris dans les tables, on obtient un produit de
la forme (1 ±6). On y arrive facilement au moyen des réciproques
approchés.
Deux nombres sont réciproques l'un de l'autre, lorsque leur pro-
duit est égal à l'unité; ainsi 6,4 et 0,1 5625 sont réciproques, car
6,4xo,i5625 = 1.
Soit a une quantité moindre que l'unité, il résulte de la relation
(1 +a) (1 — a)= 1 — a-
que
(i+a)(i-a) + a'= 1
donc
(,+a)(,_a + ^):z., et (, -a) (i +a+:^)= i
On voit que la somme d'un nombre et de son réciproque est tou-
jours plus grande que 2 ; mais elle n'en diffère que d'une quantité à
peu près égale au carré de a, lorsque celui-ci est petit.
Par conséquent, si a est suffisamment petit, et si desi une quantité
moindre que a,
( 1 + a) sera le réciproque approché de [i —a + d]
.et
(1 —a) sera le réciproque approché de (1 +a + c/)
Désignons le nombre par N et son réciproque par R , de manière
— 9 —
que NR = 1 ; et soit, par exemple , a=o,ooo3 ; le réciproque de i ,000 3
sera plus grand que 0,9997 ; mais il n en diffère que d'une quantité
moindre que 0,00000009; en effet on a
donc
et
N= i,ooo3
R>o.9997
R = o^9997-oo<^8.9973
N + R = 2,o''89973
Le produit d'un nombre par son réciproque étant égal à Tunité,
il s'ensuit que si Ton multiplie un nombre par son réciproque
augmenté ou diminué d une petite quantité, le produit sera plus grand
ou plus petit que l'unité, qu'il sera de la forme (1 ±6), et que la
quantité 6 sera d'autant plus petite que la différence entre le réci-
proqae approché et le réciproque exact sera moindre.
Ainsi, par exemple, le réciproque de 5,3 est 0,188679 et leur
produit est égal à l'unité; si au lieu d'employer pour facteur le réci-
proque exact 0,188679. • • ^^ niultipHe 5,3 par 0,19 valeur appro-
chée du réciproque, on obtient pour produit 1,007.
De même, le réciproque de i,ooo8oo6543 est plus grand que
0,9991993457, et si l'on multiplie ce nombre par 0,9992 ou 1,0^8,
on obtient pour produit i,o''i38.
Enfin, comme nous allons le démontrer plus loin, tout nombre
peut, à l'aide d'une ou de plusieurs multiplications par des réciproques
approchés, être amené à un produit de la forme (1 ±0), dont on
trouve directement le logarithme dans la table III.
La question de la recherche des logarithmes se réduit donc à
choisir des réciproques approchés qui soient tous compris dans la
table.
Il est facile de remplir cette condition à faide des considérations
suivantes :
— 10 —
I. Tout nombre mullipUé par son réciproque forcé au second chiffre
donne pour produit Funité suivie immédiatement d'un zéro au moins.
En effet, si Ton s*arrêle au second chiffre du réciproque en laug-
mentant d'une unité, il est évident qu^on Taura augmenté de moins
d\m dixième de sa valeur; par conséquent en multipliant le nombre
par son réciproque forcé, on aura un produit plus grand que i , mais
plus petit que 1,1 ; donc le premier chiffre décimal du produit sera
nécessairement un zéro.
Exemple: Le réciproque de 77 est 1298701 ; si Ton multiplie 77
par i3, on obtient pour produit 1001.
La table I donne les réciproques de tous les nombres naturels de
1 à 100; pour connaître le réciproque forcé d'un nombre, on pren-
dra dans la colonne intitulée f-j deux nombres consécutifs, Tun
plus grand, l'autre plus petit que le nombre donné, abstraction faite
de la virgule décimale; puis on multipliera par le plus grand des
deux réciproques.
Ainsi, par exemple, étant donné le nombre 27802345, on trouve
dans la table que ce nombre est compris
entre 2867 .... réciproque de 35
et 2778. . . . réciproque de 36
donc le réciproque de 2780 est compris entre 35 et 36, cl en le
multipliant par 36, on doit obtenir un produit plus grand que l'unité,
mais moindre que 1,1; en effet :
3,6 X 0,27802345= 1,00088442.
U. Lorsqu'un nombre est composé de Vunité suivie d'une fraction déci-
male dont les premiers chiffres sont des zéros et qu'on le multiplie par l'unité
diminuée de la valeur du premier chiffre significatif, on obtient toujours un
produit plus approché de l'unité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, si les premiers chiffres du nombre donné sont
— 11 —
1 ,000^1 . . , on le multipliera par son réciproque approché au cin-
quième chiffre i ,o'4.
Comme le réciproque de i ,o'4 ou de 0,9996 est 1 ,000^00 1 6oo64i
il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque,
c'est-à-dire, s'il est compris entre 1,000^9999 ®* i,oooAooi6, le
produit sera plus grand que l'unité, mais il sera toujours plus petit
que 1,0*5x1,0^4=1,00009980; par conséquent, le produit aura
toujours au moins un zéro de plus après la virgule décimale.
On aura par exemple :
1 ,oM9896x 1 ,0*4 = 1 ,0*9876
1,0*40694x1,0*4= 1,0*678
1,0*40094x1,0*4= 1,0^78
1 ,o*4oo24x 1 ,0*4 = 1 ,0^8
1,0*40017x1,0*4= 1,0'' 1
Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de 1 ,o*4,
c'est-à-dire, s'il est compris entre i,ooo4.ooi6 et i,ooo4.oooo, le
produit sera moindre que l'unité, mais plus grand que i,o*4xi,o*4
= 0,9999.9984; par conséquent, les zéros seront remplacés par un
nombre au moins double de chiffres 9; ainsi on aura :
I ,o*4oo 1 5x 1 ,0*4 = 0,99999999
1 ,o*4ooo3 X 1 ,0*4 = 0,99999987
Désignons en général par a la valeur absolue du premier chiffre
significatif;
Et par d la valeur de la fraction décimale qui le suit;
Le nombre sera {i +a + d), et si l'on effectue la multiplication par
le réciproque approché (1 — a), le produit sera [i + cf — a(a + (/)];
par conséquent, le premier chiffre de la fraction décimale sera sup-
primé, et la fraction décimale qui le suit sera diminuée.
Mais le réciproque de ( 1 — a) est ( 1 +a+ -3-); donc, si d est
plus grand que — ^, le nombre {i +a+d) est plus grand que le ré-
— 12 —
ciproque de ( i — a), et le produit sera plus grand queTunité; mais il
aura au moins un zéro de plus que (i +a-\-d), attendu qu'il sera
moindre que (i 4-d).
Exemple :
1,00007.26334 X 1,0^7
7. 5i
1, 0^26283
Si d est moindre que -^—t le nombre {i +a+d) sera plus petit
que le réciproque de (1 — a); donc le produit sera compris entre
Funité et (1 +a) (1 — a)= 1 — a^.
Or a est un nombre entier du n* ordre décimal, compris entre
1 et 9; donc son carré a^ sera du 211*' ordre décimal et compris entre
1 et 8 1 , et si (1 + a) contient (n — 1 ) zéros après la virgule décimale ,
(1 — a^) contiendra un nombre de 9 au moins double.
Exemple :
1 ,00007.00045 X 1 ,0*7
-7. 49
0'99999-99996
m. Lorsqaun nombre commence par plusieurs chiffres 9 et quon le
multiplie par Tanilé augmentée du complément arithmétique du premier
chiffre décimal à lai* suite des 9, on obtient toujours un produit plus rap-
proché de Vanité que le nombre donné.
Ainsi, par exemple, soit le nombre donné 0,9996 , on le
multipliera par 1 ,o^4.
Comme le réciproque de i,o^4 est 0,9996001599. ., il s'ensuit
que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire
s'il est compris entre 0,9996.9999 et 0,9996.0016, le produit sera
plus grand que l'unité, mais il sera plus petit que 0,9997X1,0^4
— 13 —
= i,o^3xi>o^4= 1,00009988; par conséquent, on obtiendra pour
produit Funité suivie d'un nombre de zéros plus considérable que le
nombre des 9 par lesquels commençait le nombre proposé.
Ainsi, par exemple, on aura avec 8 décimales:
o,99965696x i,o^4= 1,0*6682
• 0,99960694x1,0*4=1,0^678
0,99960094 X 1 ,oM= 1 ,0^78
o,9996oo24x i,o*4= 1,0*^8
o,9996ooi6x i,o*4= 1
Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de 1 ,o*4,
c'est-à-dire, s'il est compris entre 0,99960016 et 0,99960000, le
produit sera moindre que Funité, mais plus grand que
i,o34x 1,0^ = 0,99999984;
par conséquent on aura, après la virgule décimale, un nombre de 9
au moins double ; par exemple :
o,9996ooi5x 1,0*4 = 0,99999999
En général, désignons par a le complément du premier chiffre
après les 9, et par d la valeur de la fraction décimale qui suit; le
nombre sera [i - a + d)y et si Fon effectue la multiplication par le
réciproque approché ( 1 + a), le produit sera
1 +(/— a (a— d)
Mais le réciproque de (1 +a)est fi •— a+ -^); donc,
si (/ > -^, le nombre (1 —a + d) sera plus grand que le réciproque
de (1 + a) et le produit sera plus grand que Funité; en outre, puisque
ce produit est moindre que [i + d), il aura au moins un zéro de plus
que le nombre n'avait de 9.
Par conséquent, tous les 9 el le premier chiffre de la fraction
— 14 —
décimale a seront siippri*més, et la fraction décimale qui les suit sera
diminuée de a{a'—d).
Exemple :
0,99995.84672x1,0*5 ,
^'99979
1,00000.8465 1
Si d<C' ' le nombre (i — a+(i) sera moindre que le réciproque
de (i + a), et le produit sera moindre que Tunilé, mais plus grand
que
(1 — a)(i+a)=i— a2
Donc, si a est un nombre entier du n* ordre décimal compris entre
1 et 9, son carré à^ sera du 2/1* ordre décimal et compris entre
1 et 8 1 ; et lorsque (1 — a) contient (w — 1) chiffres 9 après la virgule
décimale, (1— a^) contiendra un nombre de 9 au moins double.
Exemple :
0,99995.0002 1 X 1 ,0*5
^'9997-'>
0.99999-99996
Les tables II et IV contiennent les logarithmes des nombres de la
forme m + — i)' depuis w= 1 jusqu'à 7i= i4; à partir de là on a
et
par exemple :
log l,O^M=: 0,0^*1 7 .371 77 .92761 ,50
log 1,0^*4 = 0,0^* 1 .73717. 792 76. i5
log 1,0^^4=0,0^^ I 787 1 . 77927 .62
log 1 ,o'^4=o,o^^ 1 787 . 1 7792 . 76
— 15 —
En résumé, d'après ce que je viens de démontrer, toute la re-
cherche du logarithme d'un nombre donné se réduit à multiplier
successivement le nombre par des réciproques approchés au second
chiffre significatif, jusqu'à ce quon soit arrivé à un produit de la forme
( 1 zh 0), dont on trouve le logarithme par simple addition.
On multiplie d'abord le nombre donné par son réciproque forcé au
second chiffre; le produit sera un nombre composé de l'unité et d'une
fraction décimale commençant par un ou plusieurs zéros; ensuite ce
produit multiplié par l'unité diminuée de la valeur du premier chiffre
significatif (c'est-à-dire, par son réciproque approché au deuxième chiffre
significatif) donnera un nouveau produit ayant après la virgule déci-
male au moins un zéro de plus.
En continuant de procéder ainsi , on finira par obtenir un produit
de la forme ( i +6) et dont le logarithme est égal k kd.
Soit N le nombre donné, p son réciproque forcé,
(i — <ï)» ( 1 — ^)» (i — c), . . . les autres facteurs,
( — a), ( — 13), ( — y)>. • . leurs logarithmes respectifs,
et soit ( 1 +Ô) le produit final,
on aura : N/) ( i —a) ( i — b) ( i — c) . . . = i + 6
d'où logN+logjp— (a + (3 + y + . . .) = ke,
et logNzncomp. log/>-f(a-f |S+yH-. . .)+k6
Or, la table I contient les compléments des logarithmes des cent dix
premiers nombres naturels;
La table II contient les compléments des logarithmes des nombres
de la forme ( i — ^ j ;
Et la première partie de la table III contient les multiples de k.
Par conséquent, au moyen de ces trois tables, il sera toujours
facile de trouver le logarithme de tout nombre donné.
Ex. 8. Calculer avec i o décimales exactes log 5882365^32.
En multipliant le nombre donné par son réciproque forcé 17^ on
— 16 —
obtient pour produit i ,0*2 1 2 344, dont on trouve, table III, le loga-
rithme au moyen d\me simple multiplication par le module.
Voici tout le calcul :
58823.65432 X17
41176.558024
1,00000.212344 =:l+6
91201 .8
998.9
19.1
,76955. 107862 =:comp. log 17 (lab. I)
log N = 9,76955 .200082
Ex. 9. Calculer avec 10 décimales exactes le logarithme de :
1,96471598
On voit, lablel, que le réciproque du nombre donné est moindre
que 5 1 ; en multipliant le nombre par 5 1 , on obtient pour produit
i,oo2 0o5. . .,qui, multiplié lui-même par son réciproque approché
0,998 ou 1,0^2, donnera pour produit final 1,0^11395 dont on
trouve directement le logarithme table III.
Voici tout le calcul :
19647 . 1598 . x5i
982357.990
1, 00200.51498 X 1,0^2
200. 4oio3
1,0^. .1 1395 =1+6
47772
1694
. 22
4949 =log(i + Ô)^
86 . 94587 = - log 1 ,0^2 (lab. II)
29242 .98239 — comp. log 5i (lab. I)
logN = o,29329. 97775
— 17 —
Ex. 1 0. (Calculer le logarithme de i ,ooo4o . o 1 2 1 3 avec 1 2 chiffres
exacts.
1 ,ooo4o.oi5i2 . i3o X 1,0^4
4 1600. 6o5
0.99999-9991 1-525 =i^d
88.475 =e
38. 218
206
-38.424 =log(i-0).
0,0^17 .37525.456 =comp. log i,oM (tab. 11)
log N = 0,000 1 7 . 37487 . o32
Dans cet exemple, le produit du nombre donné par son réciproque
approché i,o^4 est moindre que l'unité, par conséquent son loga-
rithme est négatif. . _ *
Ex. IL Déterminer avec i5 décimales log 99999. 98234. 56789
0,99999.98234.567890 X 1,0^2
1999-999647
1,0!' 234.567537 Xl,o''2
2 5
3A. 567532 ^e
4. 766012
243205
3257
i4
0,0» 1 5. 012488 ~log(j+0)
86.858897 =comp. log 1 ,0^2
-868.588877 =-log 1,0^2 (tab. IV)
logN = 1 4,99999 • 99233 . 282508
— 18 —
Exemple 12. Calculer avec i5 décimales exactes le logarithme
de îT = 3,1^1159.26535.89793
3iyii .59265.35897 .93 x32
6283. 18530.71795.86
942^7-77960.76937.9
1,00530.96491.48733.76 X 1,0^5
5o2. 65482 .45743.67
28.31 009 . 02 990 . 09
Xl,o'2
2 566. 20180. 60
8.3o442 .82809.49
XI, 0*8
8. 66,43542.62
30376.39266.87
X 1,0^3x1,0^3
3 3 gi 1 2 .92
i.i3
76.3oi52 .82
=e
33. oo638.o6
1 3028. 83
65. i4
1 . 22
1
33.13733.26 zz=iog(l+/9)
i3o. 28834-65
i3o28.854oo.o4
3.47449-48368. 73
8.68675.83428.58
217 .69192 .54274.55
49485 . 002 1 6 . 80094 . 02
logTT = 0,497 ^ ^ • 98726 . 94 1 34
— 19 —
Exemple 13. Calculer sfvec 27 décimales le logarithme
de 0,99999 •6ooo3. 16699.85562 .5!|434.36 :
0,99999.60003. 16699.85562 .52^34. 36 X 1,0^4
39999.84001 .26679. 9^220.01
I, o® 3,00701 . 122/12 .46659.37 XI, 0*3 X 1,0^27
3 7 9.02103.37
4.91
1.12233.44551.09 =0
47772.39300.936 (voir ex. 6)
955.44786.019
i4-33i7i .790
19108.957
238.862
473
48742 .36607.04
3o4.oo6i 3. 7332 3.83
1 .30288.34459.05188.00
,99999.82628.25546 73358.29942.58 = comp. 1,0^4
logN=9, 99999 . 82629 . 56 1 39 . 57 1 73 . 45o6 1 . 45
m
RECHERCHE DU NOMRRE.
Lorsque le logarithme donné est une fraction décimale, positive ou
négative, dont la première moitié au moins est composée exclusive-
ment de zéros, le nombre correspondant est égal à Tunité, plus le
logarithme divisé par le module;
ainsi , si log a: = 0, on aura a? = i + ^
et si log X — — 0, on aura x:= i —t
Or, puisque k= 0,43^29 . . . , ona t^ = 2,3o2 58 . . . (voir tab. I),
par conséquent le nombre cherché est un peu plus grand que l'unité
augmentée du double du logarithme.
Par exemple si log a; = 0,00001 ., on a x=: 1,00002 . 8026
et si log a:=: — 0,00001 = 9,99999
x=/— 0,00002 . 3o26=nj,99997 .697/1
La seconde partie de la table III contient les cent dix premiers
multiples de ^ et donne soit directement, soit à Faide d'une simple
addition, les nombres à (an — 1) chiffres de tous les logarithmes po-
sitifs ou négatifs commençant par n zéros.
On prendra les chiffres deux à deux, en écrivant au-dessous le pro-
duit qui est toujours un peu plus grand que le double du nombre
exprimé par les deux chiffres. La somme de tous ces produits partiels
augmentée de l'unité sera le nombre cherché.
— 21 —
Par exemple, soit log x = 0,000000 . 1 5 1868
on trouvera (tab. III) 345387.8 pour i5
4 144.7 » i8'
i56.6 . 68
doncx= 1,000000. 349689
Pour tout autre logarithme, le calcul du nombre correspondant
est très-simple :
Du logarithme donné on retranche celui de la table F, qui s'en approche
le plus par défaut; on agit de même pour tous les restes obtenus successi-
vement ^ en retranchant les plus grands logarithmes de la table IV contenus
dans les restes, puis on cherche le produit des nombres correspondant aux
logarithmes soustraits.
Il n'est pas nécessaire de continuer le calcul jusqu'à ce que tous
les chiffres significatifs soient supprimés. Pour obtenir le chiffre exact
à (2 71 — 1 ) chiffres, on peut cesser la soustraction des logarithmes dès
qu'on sera arrivé à un reste commençant par n zéros et dont on trouve
directement le nombre correspondant par simple addition.
En résumé, si Ion désigne par.^ le nombre cherché, par logN,
log(i-(-a), log (i + 6). . ., les logarithmes soustraits du logarithme»
donné et par 9 le reste, de manière que
logxz=logN + log(i + a) + log(i + 6)+ ... +0
le nombre cherché sera a; =N(i+a) (1 +6). . .( 1 +t)
Dans tous ces calculs on ne tient compte que de la mantisse; c'est
seulement à la fin du calcul qu'on met la virgule décimale à la place
que lui assigne la caractéristique.
Il ne faut pas oublier que pour calculer un nombre avec n chiffres
exacts, il faut connaître son logarithme avec {n + i) décimales.
Ex. 14. Calculer avec 1 i décimales le nombre dont le logarithme
est = 0,497 1 4 . 9872 694.
Le plus grand logarithme de la table V, contenu dans le logarithme
donné, est celui de 3i ; on retranche du reste les plus grands loga-
— 22 —
rithmes de la table iV jusqu^à ce que le dernier reste contienne au
moins six zéros consécutifs.
Ce reste 0,0^86 io83 est le logarithme de 1,0^1982717, et ce
dernier nombre multiplié par les nombres dont on a soustrait les
logarithmes donne pour produit :
,x = 3,ixi,oi X i,o23x i^o^3x i,o*8x 1,0^1982717
ou j:= 3,i4i59. 265359, exact au dernier chiffre.
Voici tout le calcul :
log a:=: 0,497 1 4 . 98726 . 9^
49136. 16938 .3ii =log 3i
578.81788.60
432.13737.83
= log
1,01
1 46'. 68060.77
i3o. 09330. 20
= logi
,023
16.58720.57
i3. 02688.05
= logi
,o»3
3.56o32 .52
3 .4742 1 .69
= logi
,0*8
8610.83
1.9802 . 23
23. o3
1.91
1,00000.19827.17 XI, 0^8
38. 1.59 X 1,0^3
245. 95
1 ,ooo38 . 20074 .71 XI ,0^3
3 1 i46o. 22
i,oo338.3i534.93r xi,oi
i 3. 383 1 5. 35
1,01341.69850.28 x3i
3o 4o25o.955o8.4
x=: 3, 14159.2 65359 (valeur de tt)
— 23 —
Ex. 15. Combien produit un franc placé pendant 5oo ans, Tin-
térét étant à 6 o/o payable par semestre.^
f=o,o3 r=:i,o3 n=iooo
log r*= i2,8372a./i7o5i .72205. 1 7
83250.89127.06236.32 . •
. log68
^71. 57924. 65968. 85
432 .13737 .826^2 .57
1,01
39.M186.83326.28
39.06892 .49910. i3
1,0*9
37294.33416. i5
34743.41957.88
1,0^8
256o. 91458.27
2171.47186.66
1,0^5
379.44271 .61
347.43557.16
1,0^8
32 .00714.45
• 73.67272.30
1634.84
1 . 1 3
12
1,00000.00073.69917 . 39
X 1,0^8
858 59
X 1 ,o®5
43.68
X 1,0^8
4698.96
1 .00000 . 85873 . 74660 . 62
X 1 ,0*9
9 77.28637.19
1,00090.85951 .03297 .bi
XI, 01
i 90859.51032.98
1,01091 .76810.54330.79 x68
6,06550.60863.25984.74
80873.41448.43464.63
6,87424.02311.69449.37, donc le montant
de 1 franc est de 6.874240. 23 1 169 francs 44%94.
— 2(1 —
NOTE.
• C'est surtout dans les calculs d'intérêt composé et d'annuités qu*on a besoin de
logarithmes à plus de dix décimales.
Lorsqu'on construit des tables d'intérêt composé, pour être sûr de l'exactitude de
tous les termes de la table, il faut calculer chacun au moyen du terme précédent et
s'assurer ensuite de l'exactitude de l'ensemble en vérifiant le dernier terme au moyen
des logarithmes.
I. Ainsi, pour calculer la table qui donne le montant de 1 franc au bout d'un certain
nombre d'années, chaque ternie multiplié par la raison r== \-ht, donne le terme suivant;
le dernier terme doit s'accorder avec la valeur obtenue par les logarithmes.
Si, par exemple, le taux est 4 o/o et qu'on arrête la table à loo ans, on doit obtenir
au dernier terme 7^ = 5o,5o4948 . 1 84269 . 4i st6.
II. La table qui donne le montant de i franc par an, se calcule directement en multi-
pliant chaque terme par la raison et en ajoutant l'unité au produit; si x est un terme
quelconque de la série et y le terme suivant, on a toujours j =rjj4- 1 .
Lorsqu'on est arrivé à la fin de la table, on vérifie le dernier terme au moyen dés
logarithmes.
La table 1 peut également servir, pour contrôler les termes inlermédiaires de la
table II; par exemple, si le taux est 4 0/0, on a
1 = 1,
o4
2 = a,o4
816
3 = 3,1216
134864
4 = 4,246464
169858.56
5 = 5,4i6322.56
V-i
Or on a trouvé ci-dessus que r° = 5o,5o4948. 18426.94126; donc puisque S=
le 100" terme doit être 12^, 623704.606735. (Theory of compoand interest and an-
nuities with locjarithnic tables, by Fedor Thoman. London, Lockwood and C°, page 110.)
III. Pour construire la table qui donne la valeur de tfrunc payable au bout d'un certain
nombre d'années, on commencera par le dernier terme calculé directement à l'aide des
logarithmes, puis on le multipliera successivement par la raison en remontant jusqu'au
premier terme qui, multiplié par la raison, doit donner pour produit l'unité.
_ 25 —
' Far exemple, sit=4 o/o, on a au loo* terme (page 28),
1 00 -- 0,0 1 98000 . 4o 1 1 3g . ao
7920.016045.57
99 — 0,0205920.417184.77
«236.816687.39
98 — 0,0214157.233872.16
8566.289354.89
97—0,0222723.523227.05
8908.940929.08
96 — 0,023 1 632 . 464i 56 . 1 3
IV. Pour construire la table qui donne la vafeur actuelle de Vannailéde i franc par an,
on commencera par le dernier terme calculé directement au moyen des logarithmes,
puis on multipliera chaque terme par la raison en retranchant chaque fois Tunité du
produit.
Soit i?'un terme quelconque de la série et y le terme suivant ; on a toujours y = ro? — 1 .
• Le dernier terme multiplié par la raison doit donner pour produit Tunité. On peut
encore se servir de la table II pour vérifier les termes intermédiaires.
Par exemple , si l =4 0/0
100-24,504998.997151.99
980199.959886.08
99 — 24»485 198. 957038. 07
979^07-958281 .52
98 — 24,464606 . 9 1 53 1 9 . 59
978584.276612.78
57 — 24,443191 . 191932.37
977737-6^7677-39
96 — 34,420918.839609.66
V. Pour construire la table de V annuité qui amortit un capital en un certain nombre (Tan-
nées, on commencera par ]a première année et Ton déduira chaque terme du terme
précédent diaprés la formule qui suit.
Chaque terme doit être le réciproque du terme correspondant de la table IV; ou
encore il doit être égal au taux plus le réciproque du terme correspondant de la table II.
Si Ton désigne par x famortissement d*une année quelconque, et par y celui de
Tannée suivante ,
t t
on a 0! =
r
' et y = -îfnpï
donc j=-
r-hx
Cette dernière formule est Irès-facile à appliquer; par exemple, si f=4 0/0 et /i = 5o,
on a
a:=o,oo655o2o , doncy = — 7^^^ — =^ o,oo625885
Ex. 16. Étant donné lo«;a;=5, 99999.92254.881813, chercher
]e nombre x. Lorsque la mantisse d un logarithme donné commence
par plusieurs chiffres 9, on abrège considérablement le calcul, en
ajoutant à ce logarithme le plus petit logarithme de la table II qui
excède le complément de la mantisse.
En effet, ajouter le complément d'un logarithme revient à retran-
cher le logarithme lui-même; par conséquent Taddition en question
n'est autre chose que la soustraction du plus grand logarithme tabulaire.
Ainsi , dans cet exemple , le complément de la mantisse est 0,0^7 7...,
on prendra table II, le plus petit logarithme qui contienne ce com-
plément : ce sera 0,0*^86. . . = comp. log 0,9999998.
En ajoutant ce dernier complément au logaritl)me donné, on ob-
tient pour somme o,o''94. ., de manière qu'au moyen d'une seule
addition on a supprimé les sept premiers chiffres de la mantisse.
logx = , 99999.92254-881813
8685.898324 = comp. log 1,0^2
o. G*' 940.780137
868.588877 •= log 1,0^2
Q,0^ 72 . 191260
165.786127 .
437491
2763
i38^
1,0^ 166.226519 Xl,0^2 '
2 33_
1,00000.02166.226552 XI, 0^2
2 4332
Xz=i 99999,82166.22222
Ex. 17. On place chaque année dix millions de francs; combien
produironl-ils au bout de 99 ans à 5 0/0.^
S=2(^-,)
/ = o,o5 r=i,o5 ^ = 99
a= 10000000 - = 200 000000
— 27 —
log r= 0,021 18.92990.699381 (tab. VII)
21.18929.906994
ic log I^ =
2,09774.06079.2387
7918. 12460.4762
= log 1 2
1855.93618.7625
1703.33392 .9878
i,o4
i52 .60225.7747
i3o. 09330.2042
1,0^3
22 .50895.5705
21 .70929.7223
1,0^5
79965.8483
43429.2310
i,o*i
36536.6172
34743.4196
1,0^8
1793.1976
1737.1776
i,o«4
56. 0200
128.94477
46o5
1,00000.00128.9908 xi,o"4x i,o*8x 1,0*1
1.84 1
33o
84i3
^ 1 .84129.8652 xi,o^5
5 92.0649
5i .8422 1 .9301 XI, 0^3
3 15552.6658
351.99774.5959
4 14.07990.9838
1,04366.07765.5797 X12
20873. 2 i553. 1 159
r"= 125,239293. 186956
montant de 1 franc au bout de 99 ans; de là on déduit
? (r"— i) = 24847.858637 francs 39% produit du placement an-
nuel de dix millions de francs pendant 99 ans.
— 28 —
Ex. 1 8 . Calculer la valeur actuelle à k o/o de i franc payable au bout de
loo ans et la valeur d'une rente de i franc payable pendant loo ans.
^zzo,o4 r=i,o4 />=7;^ 0=25(i-/))
log r^«>= 1 ,70333 . 39298 . 78035 ' (tab. VU)
logp=8, 29666. 60701 .21965
27875.36009.52829 =log 19
1791 . 24691 .69136
1 703 . 33392 . 98780 1 ,o4
87 .91298.70356
86.77215.31227 1,0^2
1 . 14083.39129
86858.02780 1,0*2
27225.36349
26057.59074 1,0^6
1167.77275
868.58888 r,o^2
299. 18387
260.57668 i,o''6
38.60719
87.498234
i.38i55i
16348
207
1,00000.00088.89634 X 1, 0^6 X 1,0^2 XI, 0^6 X 1,0*2
2.626 1
i4
i6i3
1 .25378
1, 00002 .62690. i664o X 1,0^2
2 525.38o33
1,00202 .63215.54673 X i,o4
4 8.10528.62187
1,04210.73744-16860 xi9
93789.66369. 75174
^ = 0,01980.00401 • 13920.34 Valeur actuelle de 1 franc.
—p=: 0,980 19. 99598. 86079 . 66 Escompte à déduire
9 = 24,50499.8997 1 .51991 Valeur de 1 franc par an.
— 29 —
9
Ex. 19. Déterminer 9^, plus grand nombre que Ton puisse expri-
mer avec trois chiffres. Soit ^
donc logOJ^g.g.cj.g.g.Q.g.Q.g log 9
et puisque log 9:= 0,96424. 25094.39324.87459.00658.07
loga:=369 693099, 63167 .03687 .43543. 096
En cherchant les 16 premiers chiffres du nombre, on a:
,63167.03687.435431
62324.92903.979006=1 log 42
* 832. 10683.466426
432 . 13737 .826426 i,oi
399 . 96945 . 63oooo
389.11662.369106 1,0^9
10.86283.260896
8.68602.116490 1,0^2
2 . 16781 . i444o6
1.73714.318498 1,0^4
43066.826907
39086.327483 1,0^9
3980.498424
3908.648678 1,0^9
71.849846
i63.48354i6
1 .9341716
226663
'o59
1,00000. 001 66. 44o384 X i,o^9X iiO^g
99 1^9
82489
1, 00000*. 99166.623022 X 1,0^4
4 3.966621
1,00004.99169.489643 X 1,0^2
2 99.833898
1,00024.99269.323541 X 1,0^9
9 .22493.423912
1,00926.2 1762 . 747453 Xl,Ol
1009.26217 .627476
1,01934.46980.374928 x42
20 38689.39607.49866
21,40623.86687.87349
x= 42 81247 . 73176 747 .. .
— 30 —
Par conséquent, le nombre x qui est un nombre entier, s'écrit avec
369 698100 chiffres dont les i5 premiers sont lxi%i2[x']^Z\^b']^']y
et si ce nombre était écrit sur une seule ligne à 4 chiffres par cen-
timètre, sa longueur serait de plus de 924 kilomètres.
Ex. 20. Déterminer le nombre dont le logarithme est
9,99999 . 82629 . 56 1 39 . 57 1 78 . 4Ô06 1 40
• Le complément du logarithme donné étant 0,0^173704.., on
ajoutera à ce logarithme le plus petit logarithme .de la table H qui
contienne ce complément;
C'est 0,0^178718 . = comp. log 1,0^4.
9,99999.82629 .66189 .67 178.4506145
1787 1 .8i4oi .97812 .7518861
1.87541.54986.2019606
1,80288.84455.1482297 1 ,o'^3
7268.20581 .0687209
4342.9448 1 .901 o8o4 1 ,o^®i
2910.26049.1676406
2606.76689.141 1694 1,0^*6
804.49860.0 1 647 1 1
804.00618.7882170 1,0*^7
48746
.2882641
1.10624
08446.871
1708.
91296.882
i4.
27602.768
191 M. 456
♦
67.666
9^
1 ,00000.00000.0000 1 .12242 .4<i5 1 5.98
8.167 ^
42.07
670.1 1
60108.87
1,00000.00008.16701 .12242.97881.54 X 1,0^4
4 1.26680.44897.19
0^=0,99999.60003. 16699.85662.52434.86
— 31 —
Ce nombre est exact à moins d'une unité du dernier ordre.
On peut remarquer que c'est précisément le nombre dont on a
calculé le logarithme, exemple 13, et que les deux opérations, en
donnant des résultats entièrement concordants, se vérifient mutuel-
lement.
IV
SOMMATION DES LOGARITHMES.
Les formules qui suivent, servent à calculer très-rapidement la
somme d'un grand nombre de logarithmes.
Les Nombres de Bemoulli, qui entrent comme facteurs dans ces
formules, jouent conjointenient avec les deux nombres analytiques
e base des logarithmes naturels, et
TT rapport de la circonférence au diaraèlre,
un rôle très-important dans toute l'analyse.
En effet, ils se présentent dans un grand nombre de développe-
ments en séries, dans les formules logarithmiques et trigonométri-
ques, dans la sommation des séries algébriques ou transcendantes,
dans le développement des intégrales définies et des intégrales aux
diflférences finies.
Ils sont les coefficients de x dans les sommes des puissances paires
des nombres naturels, depuis i jusqu'à x; par exemple :
,+2+3 +...+x=-+-+^- g +^
,+2«+3« + ...+x'' = î^ + ^' + ^-4V^-f '■
926 169 00
En désignant par :3l, 0, C 19, les nombres de Bcrnoulli,
par n, n, n. . . les coefficients du binôme de Newton, de manière que
^i+ay*=i + 7ia + /îa^ + «a^ +
— 33 —
et en posant successivement 71=2, 4» 6, 8 . . ., on trouve facilement
la valeur numérique des nombres de Bemoulli , au moyen de Téquation
n— 1
=an-i jP n+^C n^lîD " + ■
Ces nombres sont tous rationnels, positifs et fractionnaires; voici
ies douze premiers :
a=8 »=fo •=! *=^
( Comptfs rendus de T Académie des sciences, i à mai 1 860. )
— 34 —
SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES EN PROGRESSION ARITHMETIQUE.
{Comptes rendus Je l'Académie des sciences, 9 novembre i863 ^)
S=loga-f-log(a4-w)+log(a+ 2 w) + . . . + log{a+n(»))
Soit b = [a + nejô); et soit k le module des logarithmes, on aura:
S=^(61og6-«log»)-»i + Mog«6-2^(l-i)+^(i,-;,)
5.6
(?-f)
+•
ouS=^log6-Moga-n*+^loga6-^^ + g^(^-^,)
Ex. 21. Déterminer la somme des looi logarithmes
log 17000+log 1 7003 +log 17006 + . . . + log 20000
0=17000 «log 6 = 28673, 53330.442655
6 = 20000 — |-loga = 23972, 54388.781022
nw=: 3ooo — wA = — 434, 29448.190325
0=' 3 +-loga6= 4» 26573.945852
71= 1000 ~_5^_= —95800
1 360000
Su: 4270, 96067.321360
Ex. 22. Déterminer la somme des 1101 logarithmes
log 17000+log 17002 — +log 17005 — + • • • +log 20000
3i54o,88663. 486920
— 26369,79827.659124
n=iioo — 477172393.009358
+ 4i26573. 945852
-87091
8 = 4697,63016.677199
* Le cadre restreint de cet ouvrage ne m'a pas permis de donner ici le développement des for-
mules générales de la sommation des séries, mais j'ai toujours indiqué les comptes rendus de
r Académie d.ea s.ciencejs où l'on peut trouver ces développements.
71W =
3ooo
eiû =
3o
11
_ 35 —
('
LOGARITHMES DES FACTORIELLES , OU SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS
DE 1 Xa?.
S==l0g(l . 2 . 3 . 4. • . 'SC)
5.6a;'
ou S=(x+l) log^ + Mog2W-ix+A__L,^._^^
Ex, 23. Calculer la somme des logarithmes de tous les nombres
naturels depuis 1 à 679.
j[:z=579 S79'51og579= 1600,9722277
logx= 2,76267 .85637 ~^^S ^^ ^-^ 0,3990899 (tab. Vil)
— kx = — 261,4569050
+ — = +625
12a; . I
log(i .2.3.4. . .579) = 1349,9 148741
' Ex. 24. Calculer la somme de tous les logarithmes de 1 à 1 00000.
œ= 100000
logx= 5
5oooo2,5
0,39908.99341 . 79057 .52478. 26035.92
— 43429,44819.03251 .82765. 1 1289. 18916.61
+ 3619.12068.25270.98563.76
— 120.63735.61
S= 456673,46089. 99709.08360. 66339.40947 .46
Ex. 25. Calculer avec 26 chiffres exacts log ( 1 . 2 . 3 . • . 1 00)
x= 100
logj;= 2
201,39908.99341 .79067 .62478. 2 6o36 .92
— 43,42944-81 903.26182 .7661 1 . 2891 8.92
+36. 19120.68262 . 70986.63769.41
— 12. 06373. 66084. 2366 1.88
+34.46781.60240.68
— 268. 60862 .02
+ 3666.68
-83
S= 167,97000.36647 .16788.37391 .49248.04 (tab. VI)
3.
._ 36 —
III ^'
SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATI-FS.
LE DERNIER TERME ETANT POSITIF.
(Comptes rendus de V Académie des sciences , 35 mars 1867.)
S = loga— log (a + 6i))-l-log(a+2w) — . • . 4- log (a + /?&)),
S=iloga6-^a*»(i-l)^4^«W(J.-^)
-tϫ*"'(?-f)+---
Ex. 26. Calculer v = "''°!-"'--;f,"''
a =2^6 Ioga = 2,39035 1
6 = 44A -loga6=2,5i9i59o
w= 9 log6 = 2,6/i7383o —^^= - 177^^
+ 7
logj =2, 6173883
y = 329^1^58
Ex. 27. S = log 1 7000 — log 1 7003 + log 1 7006 — . . . + log 20000
(Voir exemple 21.)
a= 17000
6 = 20000 4126673.94585.2 1 127.66
(iô= 3 — 28740.07600.83
+ 38.37
8 = 4,26673.66845.13666.10
Ex. 28. log 1 7000 — logi 7002 — + log 17006 ... + log 20000
w = — 4126673.94686.21 127.66
1 1
261 27.34182 .67
+ 28.83
8=4.26673.68467.86973.82
37 —
IV 1''
SOJ^ME DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ÉTANT POSITIF.
S = log I — log2+log3— . . . +loga;
S 11 i|7r,ft k , k ^ik ,
= -loga; losr- + 7 — ■— r-sH s —7 + ' • •
2 ® 2 ^ 2 ^X 2kX 20X \\2X'
Ex. 29. Calculer y = "f t« '^^«'^^^
^ = 999
logx= 2,99966 5488(tab. II) ^loga;=i, 4997827
-^logf = -o,o98o599(lab.VII)
logy= i, ^Ol83l5
y=:25, 22602
Ex. 30. S=:log 1 —log 2 +log3— . . . +log3ooi
a; = 3poi
loga;=: 3,47726.59964.24852 .62460 ,2942 1 .60
-logx= 1,73863.29977. 12426.31
— 9806.99386.16076.33
+ 3.61791 .47109.67
— 669.64
S= 1,64060.92383.43790.01
— 38 —
ù
»
SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ETANT NEGATIF. .
[Comptes rendus de V Académie des sciences, 35 mars 1867.]
S=:Ioga— log(a + a))+log(a+2Ci)) — • . . — log(a + n6;),
S=5%ï-^2U« (l+J)+4^*to.(J,+-' )
-xr«*"'(?+p)+---
ou s=ii<-^(i+|)+^(i.+^)-^'(7+;-)+--
F oi P 1 1 386i «3871 -3881 •• -6001
t-x. 01. i.aicuier y — ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^
a = 386i log a = 3,0866998 -log| = 9,90^0672
6 = 6006 log6 = 3, 7786853 — 23io
0) =
logj=:9, 9038262
j'zz: 0,8013573
Ex. 32. Calculer y = '8'5..8.9---4993
•^ 1822* i8o6- -wôooo
a= i8i5
6 = 5ooo
œ= 7 ~log| = 9,77995. 33125.18056.25939.77
— 57 . 07443 . o466 1 . 00904 . 79
1=1:0,363 -f 10.87749-81921 . 12
-18.64618.70
+ 83.74
3.11^
■ 10'
logj = 9,77938. 26693 .01 126.4242 1 .09
j=: 0,60 170. 35437 .67086.00395.39
— 30 —
VI '^
SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS.
LE DERNIER TERME ETANT NÉGATIF.
S = log 1 — log 2 +log 3 — . • . — log X
~S = -log^+-log-+-^--^:^^+-3:^ .^-. .
-S=ilogx+iiog^+ A-_ * +A,
2 O '2 O 2 ' 407 24^^ 20X
Ex. 33. On demande y= ^\ '; "997-999
»/ 2-4*0' • «ggc' 1000
X=1000 -logX=:i,5
logx= 3 ^log^=o,098o599 (tab. VII)
1086
S = - 1,5981685
logj = 8,iioi83i5
)':=:0,02522502
Ainsi , pour évaluer y avec 8 chiffres exacts, il n'a fallu calculer qu'un
seul terme.
Ou voit que la mantisse du logarithme est égale à celle derexemple29.
Ex. 34. S = log 1— log2 +log3— . . .— logSooo
ilog3ooo= 1,73856.06273.59831 . 22
-log - =0,09805.99385.15076.33
— = 3.61912.06825.27
— 670.21
24a;"
— S= 1.83665.67570.81062 .61
Dans l'exemple 30, on a trouvé pour somme des 3ooi logarithmes
positifs et négatifs S=:+ 1,6^061 ; en retranchant de cette somme la
valeur qu'on vient d'obtenir S=— 1 ,83665..., on trouve pour différence
3,^7726.59954*24852 .62
mais c'est le logarithme de 3ooi exact au dernier chiffre; par consé-
quent les deux résultats sont vérifiés l'un par l'autre.
— 40 —
AD. II.
SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIRS OU DES NOMBRES IMPAIRS
COMPRIS ENTRE 1 ET 207.
De la valeur de S = iog ( i . 2 . 3 . . .a?), formule II, on déduit direc-
lemenl la somme des logarithmes des nombres pairs: log (2.4.6...2X)
=:S + xlog2; puis en retranchant cette dernière valeur de celle de
log (1.2.3... 2J?), il reste la valeur de log [1.3.5.7... {^^~ 0]»
somme des log. des now6re5 impairs.
1. SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIRS DE 1 A 2J?
Ex. 35. Calculer à 20 décimales la. somme des logarithmes des
nombres pairs de 1 à 1 0000.
2a:= 10000
20002,
log2a:= 4 0,24867.49363.47066.9271 7. ÔÔZZ-l.TT, t. VII
— 2 171,47240.95162.59138.25564-46
+ 72382.41 365. o54' 9-7 »
~9.65098.85
+ 1
P= 17230,77617.26583.29284-07473.97
2. ' — SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES IMPAIRS DE 1 À 20?.
Ex. 36. Calculer à 20 décimales la somme des logarithmes des
nombres impairs de i à 10000.
20000,
o,i5o5i .49978. 3 1990. 59760. 69 = i log 2, lab. VU.
— 2 1 71,47240 .95162.59138. 25564- 46
— 39191 .20682 . 52709. 86
+ 8.44461.49
— 1
I = 17828,67810. 18624.52 178.25947 .85
En additionnant les deux sommes que nous venons d'obtenir , on aura
P + Izi 35659,45427. 45207. 8 1462. 3342 18
ce qui est la somme des logarithmes de tous les nombres naturels
depuis 1 jusqu'à 10000.
TABLES.
— 42 —
I
RECHERCHE DU LOGARITHME.
RÉCIPISOQDES ET LOGARITHUES DES RECIPROQUES DES NOUBHES NATURELS DE I À I I O.
a
i
a
11
9091
12
8333
13
7692
14
7143
15
6667
16
625
17
5882
18
'5556
19
5263
20
5
21
4762
22
4545
23
4348
24
4167
25
4
26
3846
27
3704
28
3571
29
3448
30
3333
Log
a)
95860
92081
88605
85387
82390
79588
76955
74472
72124
69897
.73148.
.87539,
.66476.
.19643.
.87409.
.00173.
.1078'6.
.74948.
.63990.
.00043.
67778,
65757
63827
61978.
60205,
58502.
56863.
55284.
53760.
52287.
07052
73191.
21639
87582 ,
99913,
66520,
62358.
19686.
20021.
87452.
41774.
52375.
93163,
21761.
44318.
44075.
21726.
96693.
47171.
36018.
66080
77793,
82407
88393
27962
29182
41012
57780,
01043.
80337.
95924.
17227.
23079.
97407 .
.75791.
21914.
07145.
93019.
03846.
80478.
98000.29
74943.07
34948.42
40448.47
87109.91
50444.21
98301.06
62052.99
36665.24
62611.05
73199
76403
12113
97706
39042
03557
68811
77886
91266
56270
.27558.38
.60611.34
.22228.88
.37554.13
.74777.89
.97559.47
.49162.90
.03059.52
.71532.37
.49720.97
a
1
a
31
3226
32
3125
33
3030
34
2941
35
2857
36
2778
37
2703
38
2632
39
2564
40
25
41
2439
42
2381
43
2326
44
2273
45
2222
46
2174
47
2128
48
2083
49
2041
50
2
■^U)
50863,
49485
48148.
46852.
45593.
44369.
43179.
42021.
40893.
39794,
83061
00216
60601
10829,
19556,
74992.
82759,
64033.
53929,
00086,
38721
37675
36653
35654
34678
33724
32790
31875
30980
30102
.61432.
.07096.
.15444.
.73235.
.74862.
.21683.
.21420,
.87626.
.39199,
.99956,
65727
80094
22112
57744.
49724,
32712.
33005
83189.
73500.
72037.
80264.
02099.
20413.
13812,
24656.
18425,
64282,
24412.
71486.
63981.
32033
02393
52195
87624
36450
73498
00319
84324
79349
60957
50549
53677
47359
56882
32062
92591
53558
78185
33857
19521
.32959.00
.13055.26
.47721.26
.60912.11
.15226.36
,24664.04
.15493.10
,99276.30
.84669.39
.25222.11
.05881.50
.00169.43
.49118.47
.23222.39
.38630.83
.84839.93
.57806.01
.00165.18
.55674.83
.37388.95
c =2,71828.18284.59045.23536.02874.71
- =0,36787.94411.71442.32159.55237.71
Modulefc = log e =0,43429.44819.03251,82765.11289.19
^ = log. lo =2,30258. 50929. 94045. 68401..79914. 55
log h =9,63778.43113.00536.78912.29674.99
log 2k =9,93881.43069.64517.98433.67063.93
— 43
I (Suite).
RECHERCHE DU LOGARITHME.
a
RÉCIPROQUES ET LOGARITHMES DES RECIPROQUES DES NOMBRES NATURELS DK 1 À 1 10.
1
a
Log(^^)
a
1
a
^"^(a-)
51
1961
29242 . 98239 . 02063 . 634 l 6 . 48022 . 02
81
1235
09151.49811.21350.25081.98883.87
52
1923
28399 . 66563 . 65200 . 84036 . 60170 . 53
82
1220
08618.61476.16283.31027.68492.55
53
1887
27572.41303.99210.95436.70077.08
83
1205
08092 . 19076 . 23926 . 096 16 . 72396 . 48
54
1852
26760.62401.77031.49290.11773.96
84
1190
07572.07139.38118.34156.52780.49
55
L818
25963.73105.05756.15446.35389.23
85
1176
07058 . 1 0742 . 85707 . 26667 . 35690 . 00
56
1786
25181.19729.93799.58364.65670.57
86
1163
06550 . 15487 . 56432 . 27838 . 1 1729 . 52
57
1754
24412.51443.27508.60116.86386.21
87
1149
06048.07473.81381.47537.21253.34
58
1724
23657.20064.37062.71745.34143.42
88
1136
0555 1 . 73278 . 4983 1 . 37360 . 85833 . 45
59
1695
22914 . 79883 . 57855 . 80973 . 93436 . 15
89
1124
05060 . 99933 . 55087 .21527. 6^566 . 30
60
1667
22184.87496.16350.36749.12332.02
90
1111
04575 . 74905 . 60675 . 12540 . 99441 . 93
61
1639
21467.01649.89232,96611.42514.86
91
1099
04095 . 86076 . 78906 . 40008 . 1 2785 . 83
62
1613
20760.83105.01746.12511.95570.05
92
1087
0362 1 . 2 1 726 . 54444 . 73070 . 47450 . 98
63
1587
20065 . 94505 . 46418 . 29469 . 77279 . 35
93
1075
03151.70514.46064.88303.82679.97
64
1562
19382.00260.16112.82871.75666.32
94
1064
02687 . 2 1 464 . 0030 1 . 34037 . 204 1 7 . 06
65
1538
1 8708 . 66433 . 57 1 44 . 42600 . 72337. 37
95
1053
02227.63947.11152.23367.74054.19
66
1515
18045.60644.58131 .32674. 10332.31
96
1042
01772 . 87669 . 60431 . 58663 . 62776 . 23
67
1493
17392.51972.99173.56585.08683.71
97
1031
01322.82657.33755.14821.56381.88
68
1471
16749.10872.93763.68103.23523.16
98
1020
00877 . 39243 . 07505 . 14336 . 18285 . 88
69
1449
16115.09092.62744.68383.71949.84
99
1010
00436 . 48054 . 02450 . 08465 . 97442 . 22
70
1429
15490.19599.85743.16928.77837.41
100
1
71
1408
14874.16512.80924.71390.71705.05
101
9901
99567.86262.17357.42572.48118.22
72
1389
14266 . 75035 . 68731 . 53976 . 87275 . 09
102
9804
99139.98282.38082.43895.10633.08
73
1370
13667. 71398. 79544. 09892;56131. 00
103
9709
987 1 6 . 27752 . 94827 . 79482 . 89288 . 05
74
1351
13076.82802.69023.80797.78104.16
104
9615
98296.66607.01219.64515.22781.58
75
1333
12403 . 87366 . 08299 . 953 1 3 . 24498 . 86
105
9524
9788 1 .07009 . 3006 1 . 92720 . 64947 . 33
76
1316
11918.64077.19208.64803.61887.35
106
9434
97469.41347.35229.75915.32688.14
77
1299
11350.92748.27518.12853.75837.70
107
9346
97061.62223.14790.35916.54587.61
78
1282
10790.53973.09519.59828.47280.44
108
9259
96657.62445.13050.29768.74385.01
79
1266
10237.29087.09558.57200.51786.14
109
9174
96257 . 35020 . 59376 . 36479 . 94866 . 92
80
125
09691.00130.08056.41435.87833.16
110
9091
95860. 73148. 41 774. 95924. 98060.29
— U —
II
RECHERCHE DU LOGARITHME. Il
NOMBRE.
-<^{-^.)
NOMBRE.
-'"«(-^O
1,0 9
0,0 4095 . 86076 . 78906 . 40008 . 12785 . 83
I,0»9
0,0*39086.67926.16131.78020. 18
8
362 1 . 2 1 726 . 54444 . 73070 . 47450 . 98
8
34743.69752.72355.55615.60
7
3151.70514.46064.88303.82679.97
7
30400.72013.58722.40196.79
6
2687.21464.00301.34037.20417.06
6
26057 . 74708 . 75 1 45 . 45678 . 49
5
2227.63947.11152.23367.74054.19
5
21714.77838.21537.86001.75
4
1772.87669.60431.58663.62776.23
4
17371.81401.97812.75133.61
3
1322.82657.33755.14821.56381.88
3
13028.85400.03883.27067.18
2
0,0* 877 . 39243 . 07505 . 14336 . 18285 . 88
2
0,0* 8685 . 89832 . 39662 . 5582 1 . 62
1
436 . 48054 . 02450 . 08465 . 97442 . 22
1
4342 . 94699 . 05063 . 75442 . 1 3
1,0«9
0,0* 392 . 63455 . 14724 . 67163 . 55656 .21
1,0«9
0,0» 3908.65209.60229.73493.33
8
348.83278.45821.34426.46014.26
8
3474 . 35724 . 49690 . 97907 . 98
7
305.07515.04618.82409.68314.89
7
3040.06243.73447.40000.14
6
261.36156.02686.68798.12154.12
6
2605.76767.31498.91083.93
5
• 217.69192.54274.54511.37171.10
5
2171.47295.23845.42473.42
4
174.06615-76301.26844.47339.55
4
1737.1 7827 . 50486 . 85482 . 72
3
130.48416.88344.28011.86282.97
3
1302.88364.11423.11425.93
2
0,0^ 86 . 94587 . 12628 . 89062 . 03560 . 69
2
0,0' 868.58905.06654.11617.14
1
43.45117.74017.69130.64656.01
1
434.29450.36179.77370.46
1.0»9
0,0' 39.10410.28582.94304.45669.94
1,0'9
0,0' 390.86505.13018.54217.30
8
34.75746.33920.90231.67184.25
8
347 . 43559 . 94200 . 25624 . 22
7
30.41125.89160.76147.34971.46
7
304.00614.79724.91582.53
6
26 . 06548 . 93431 . 97427 . 76940 . 46
260 . 57669 . 69592 . 52083 . 54
5
21.72015.45864.25579.96912.24
5
217.14724.63803.07118.57
4
17.37525.45587.58231.28918.96
4
173.71779.62356.56678.94
3
13.03078.91732.19118.92026.02
3
1 30 . 28834 . 65253 . 00755 . 95
2
0,0* 8 . 68675 . 83428 . 58079 . 45676 . 92
2
0,0» 86 . 85889 . 72492 . 39340 . 92
1
4.34316.19807.51038.45560.44
1
43.42944.84074.72425.16
1,0*9
0,0* 3 . 90882 . 62369 . 48505 . 57891 . 65
J,0«9
0,0» 39.08650.35471.81930.71
8
3 . 47449 . 48368 . 72627 . 56562 .27
8
34.74355.86912.34381.16
7
3 . 04016 . 77804 . 36523 . 36654 . 48
7
30.40061.38396.29776.50
6
2. 60584. 50675. 53314; 53910. 58
6
26.05766.89923.68116.71
5
2.17152.66981.36125.24722.49
5
21.71472.41494.49401.80
4
1 .73721 .26720.98082.26121 .40
4
17.37177.93108.73631.75
3
1.30290.29893.52314.95767.29
3
1 3 . 02883 . 44766 . 40806 . 55
2
0,0* 86859.76498.11955.31938.54
2
0,0» 8 . 68588 . 96467 . 50926 . 20
1
43429.66533.90137.93521.49
'
4.34294.48212.03990.69
— Ii5
II (Suite).
RECHERCHE DU LOGARITHME.
NOMBRE.
-H{>-^.)
NOMBRE.
-H(.~.)
1,0» 9
0.0» 3 . 90865 . 03388 . 881 59 . 1
1,0'«9
o;0'«390,86503. 37131. 03
8
3.47435.58566.15756.96
8
347.43558.55227.41
7
3.04006.13743.86784.27
7
304.00613.73323.83
6
2.60576.68922.01241.03
6
260:57668.91420.29
5
2.17147.24100.59127.24
5
217.14724.09516.80
4
1.73717.79279.60442.90
4
173.71779.27613.35
3
1.30288.34459.05188.00
3
130.28834.45709.95
2
0,0^« 86858 . 89638 . 93362 . 55
2
0,0'3 86.85889.63806.59
1
43429.44819.24966.55
1
43.42944.81903.27
1,0'»9
0,0»» 39086.50337.30515.57
1,0»^9
0,0'3 39.08650.33712.94
8
34743.55855.36498.89
8
34.74355.85522.62
7
30400.61373.42916.49
7
30.40061.37332.29
6
26057.66891.49768.40
6
26,05766.89141.96
5
21714.72409.57054.59
5
21.71472.40951.63
4
. 17371.77927.64775.09
4
17.37177.92761^.30
3
13028.83445.72929.87
3
13.02883.44570.98
2
0.0'» 8685.88963.81518.95
2
0,0»* 8.68588.96380.65
1
■ 4342.94481.90542.33
l
4.34294.48190.33
J,0"5
0,0" 3908.65033.71468.55
8
3474.35585.52399.12
7
3040.06137.33334.03
6
2605.76689.14273.28
5
2171.47240.95216.88
4
1737.17792.76164.82
3
1302.88344.57117.10
2
0,0»^ 868.58896.38073.72
434.29448.19034.69
■
li6
m
RECHERCHE DES LOGARITHMES ET DES NOMRRES.
AECIIEnCHE DU LOGARITHME.
RECHERCHE DU LOGARITHME.
Log(i+Ô) =
he
6
Log(i ■
^ô) =
kS
e
Kfl
6
Ko
KO
e
KO
11
4.77723.93009.36
36
15,63460.13485.17
61
26,49196.33960.98
86
37.34932.54436.80
12
5,21153.37828.39
37
16,06889.58304.20
62
26,92625.78780.02
87
37,78361.99255.83
13
5,64582.82647.42
38
16,50319.03123.24
63
27.36055.23599.05
88
38,21791.44074.86
14
6,08012.27466.46
39
16,93748.47942.27
64
27,79484.68418.08
89
38.65220.88893.89
15
6,51441.72285.49
40
17.37177.92761.30
65
28.22914.13237.11
90
39,08650.33712.93
16
6,94871.17104.52
41
17,80607.37580.33
66
28,66343.58056.15
91
39,52079.78531.90
17
7,38300.61923.55
42
18,24036.82399.37
67
29,09773.02875.18
92
39,95509.23350.99
18
7,81730.06742.59
43
18,67466.27218.40
68
29,53202.47694.21
93
40,38938.08170.02
19
8,25159.51561,62
44
19,10895.72037.43
69
29,96631.92513.24
94
40,82368.12989.06
20
8,68588.96380.65
45
19,54325.16850.46
70
30,40061.37332.28
95
41,25797.57808.09
21
9,12018.41199.68
46
19,97754.61675.50
71
30,83490.82151.31
96
41,09227.02027.12
22
9,55447.86018.72
47
20,41184.06494.53
72
31,26920.26970.34
97
42,12656.47446.15
23
9,98877.30837.75
48
20,84613.51313.56
73
31,70349.71789.37
98
42,56085.92265.19
24
10,42306.75656.78
49
21,28042.96132.59
74
32.13779.16608.41
99
42,99515.37084.22
25
10,85736.20475.81
50
21,71472.40951.63
75
32,57208.61427.44
100
43,42944.81903.25
26
11,29165.65294.85
51
22,14901.85770.06
76
33.00638.06246.47
101
43.86374.26722.28
27
11,72595.10113.88
52
22,58331.30589.69
77
33,44067.51065.50
102
44,29803.71541.32
28
12,16024.54932.91
53
23,01760.75408.72
78
33,87496.95884.54
103
44,73233.16360.35
29
12,59453.99751.94
54
23,/i5190.20227.76
79
34,30926.40703.57
104
45,16662.61179.38
30
13,02883.44570.98
55
23.88619.65046.79
80
34.74355.85522.00
105
45,60092.05998.41
31
13,46312.89390.01
56
24,32049.09865.82
81
35,17785.30341.63
106
46,03521.50817.45
32
13,89742.34209.04
57
24,75478.54684.85
82
35.61214.75160.67
107
40.46950.95636.48
33
14,33171.79028.07
58
25,18907.99503.89
83
36,04644.19979.70
108
46,90380.40455.51
34
14,76601.23847.11
59
25,62337.44322.92
84
36,48073.64798.73
109
47,33809.85274.54
35
15,20030.68666-14
60
26,05766.89141.95
85
36,91503.09617.76
lia
47.77239.30093.58
47 —
III (Suite)
RECHERCHE DES LOGARITHMES ET DES NOMBRES.
REGBERCHE DU NOMBRE.
RECHERCOE DU NOMBRE. 1
e
Loga: = ô
X
— (
e
Log X = d
jr =
■■*i
B
k
e
6
k
e
k
e
e
k
II
25,32843.60229.35
36
82,89306.33477.80
61
140,45769,06726.37
86
198,02231.79974.88
12
27,63102.11159.29
37
85,19564.84407.80
62
142,76027.57656.31
87
200.32490.30904.82
13
29,93360.62089.23
38
87,49823.35337.74
63
145,06286.08586.25
88
202.62748.81834.76
14
32,23619.13019.17
39
89,80081.86267.68
64
147,36544.59516.19
89
204.93007.32764.70
15
34,53877.63949.11
40
92.10340.37197.62
65
149,66803.10446.13
90
207,23265.83694.64
16
36.84136.14879.05
41
94,40598.88127.56
66
151.97061.61376.07
91
209,53524.34624.58
17
39,14394.65808.99
42
96,70857.39057.50
67
154,27320.12306.01
92
211.83782.85554.52
18
41,44053.16738.93
43
99,01115.89987.44
08
156,57578.68235.95
93
214.14041.36484.46
19
43,74911.67668.87
44
101,31374.40917.38
69
158,87837.14165.89
94
216.44299.87414.40
20
46.05170.18598.81
45
103,61632.91847.32
70
161,18095.65095.83
95
218,74558.38344.34
21
48,35428.69528.75
46
105,91891.42777.26
71
163,48354.16025.77
96
221,04816.89274.28
22
50.65687.20458.69
47
1Q8.22149.93707.20
72
165,78612.66955.71
97
223,35075.40204.22
23
52,95945.71388.63
48
110,52408.44637.14
73
168,08871.17885.65
98
225,65333.91134.16
24
55,26204.22318.57
49
112,82666.95567.08
74
170,39129.68815.59
99
227,95592.42064.11
25
• 57,56462.73248.51
50
115,12925.46497.02
75
172,69388.19745.53
100
230,25850.9^94.05
26
59,86721.24178.45
51
117,43183.97426.96
76
174.99646.70675.47
101
232.56109.43923.99
27
62,16979.75108.39
52
1 19.73442.48356.90
77
177,29905-21605.42
102
234,86367.94853.93
28
64,47238.26038.33
53
122,03700.992.86.84
78
179,60163.72535.36
103
237,16626.45783.87
29
66.77496.76968.27
54
124,33959.50216.78
79
181,90422.23465.30
104
239,46884.96713.81
30
69,07755.27898.21
55
126,64218.01140.73
80
184,20680.74395.24
105
241,77143.47643.75
31
71,38013.78828.15
50
128,94476.52076.67
81
186,50939.25325.18
106
244,07401.98573.69
32
73,68272.29758.09
57
131,24735.03006.61
82
188,81197.76255.12
107
246,37660.49503.63
33
75,98530.80688.04
58
133,54993.53936.55
83
191,11456.27185.06
108
248,67919.00433.57
34
78,28789.31617.98
59
135,85252.04866.49
84
193,41714.78115.00
109
250,98177.51363.51
35
80,59047.82547.92
60
138,15510.55796.43
85
195,71973.29044.94
110
253,28436.02293.45
48 —
IV
RECHERCHE DU NOMRRE.
1.0 9
8
7
6
5
4
3
2
1
1.0«9
8
7
6
5
4
3
2
1
1,0«9
8
7
6
5
4
3
2
1
1,0*9
8
7
6
5
4
3
2
1
Log(i4-^.)
0,0 3742.64979
3342.37554
2938.37776
2530.58652
2118.92990
1703.33392
1283.72247
0.0* 860.01717
432.13737,
0,0«
0,0»
389.11662.
346.05321.
302.94705.
259.79807.
216.60617.
173.37128.
130.09330.
86.77215.
43.40774.
40623.
86949,
85209
64770.
69938.
98780,
05172.
61917.
82642.
36910.
09506.
53618.
19908.
56507.
09000.
20418.
31226.
79318
0,0»
0,0*
0,0*
0,0»
39.06892.49910.
34.72966.85363,
30.38997.84812,
26.04985.47390.
21.70929.72230,
17.36830.58464.
13.02688.05227.
8.68502.11648.
4.34272.76862.
3.90847.44584.
3.47421.68884.
3.03995.49761.
2.60568.87215.
2.17141.81245,
1.73714.31849.
1.30236.39028,
86858.02780
43429.23104
63520,
70231
64083
24084,
07279
35484
20517
56104,
57427.
52171.
48615,
00716,
59231.
67623,
52976,
11880,
91249,
64066,
13102
54068
49181,
34681 ,
20828.
91882.
06100,
95722,
66963.
16739.
03320.
39869.
39547.
15513.
80922.
48926.
32675
45318
05133.08
25614.99
45412.39
67311.86
35052.67
77218.42
10711.95
89366.92
51881.78
52813.17
72276.44
93257.67
19629.85
04206.38
80271.06
08262.79
28427.08
89213.88
88642.23
77056.93
05176.68
78546.11
19128.84
26381.53
37808.72
88997.98
73135.28
24188.05
04935.02
40262.21
94562.29
71724.22
15122.78
07608.19
71495.64
68554.93
hohbub.
^^K^-^^)
1,0»9
0,0''39086. 32748. 30828. 22139. 17
8
34743.41957.87671.28640.14
7
30400 . 50733 . 15761 . 02389 . 69
6
26057 . 59074 . 1 50 1 . 57693 . 60
5
21714.66980.85333.08831.02
4
17371.74453.26641.70057.42
3
13028.81491 .38849.55598.63
2
0.0« 8685.88095.21869.79656.80
1
4342 . 94264 . 756 1 5 . 56407 . 44
1,0«9
0,0» 3908.64857.82376.70075.57
8
3474.35446.54844.13726.27
7
3040.06030.93017.78073.69
6
2605.76610.96897.56231.94
5
2171.47186.66483.37715.16
4
1737.17758.01775.14437.46
3
1302.88325.02772.77712.98
2
0,0' 868.58887.69476.18855.84
1
434.29446.01885.29180.14
1,0'9
0,0' 390.86501.61240.01183.14
8
347.43557.16251.78782.41
7
304.00612.66920.61969.27
6
260 . 57668 . 1 3246 . 50735 . 02
5
217.14723.55229.45070.99
4
173.71778.92869.44968.48
3
130.28834. 26166. 50418. 82
2
0,0» 86.85889.55120.61413.30
1
43.42944.79731.77943.26
1,0>9
0,0» 39 . 08650 . 31954 . 03400 . 37
8
34.74355.84132.85912.74
7
30.40061.36268.25480.37
6
26.05766.88360.22103.23
5
21.71472.40408.75781.33
4
17.37177.92413.86514.65
3
13.02883.44375.54303.18
2
0,0« 8.68588.96293.79146.93
1
4.34294.48168.61045.87
f
— 49 —
IV (Suite).
RECHERCHE DU NOMBRE, 1
NOMBRE.
Log(i4-^.)
NOMBRE.
Log(.+A)
1,0» 9
0,0» 3. 90865. 03353. 70373. 80
1,0'*9
Ô,0"390. 86503. 37127. 51
8
3.47435.58538.30272.28
8
347.43558.55224.62
7
3.04006.13722.58741.31
7
304.00613.73321.70
6
2.60576.68906.37780.90
6
260.57668.91418.73
5
2.17147.24089.73391.04
5
217.14724.09515.72
4 •
1.73717.79272.65571.73
4
173.71779.27612.66
3
1.30288.34455.14322.97
3
130.28834.45709.56
2
0,0" 86858.89637.19644.76
2
0,0" 86.85889.63806.42
1
43429.44818.81537.10
«
1
43.42944.81903.23
1.0»»9
0,0»» 39086.50336.95337.72
1,0»»9
0.0" 39.08650.33712.91
8
34743.55855.08704.04
8
34.74355.85522.59
7
30400.61373.21636.06
7
30.40061.37332.27
6
26057.66891.34133.80
6
26.05766.89141.94
5
21714.72409.46197.23
5
21.71472.40951.62
4
17371.77927.57826.38
4
17.37177.92761.30
3
13028.83445.69021.22
3
13.02883.44570.97
2
0,0» 8685.88963.79781.78
2
0,0»* 8.68588.96380.65
1
4342.94481.90108.04
1
4.34294.48190.32
1,0"9
0,0»^ 3908.65033.71116.78
8
3474.35585.52121.17
7
3040.06137.33121.23
6
2605.76689.14116.9^
5
2171.47240.95108.30
4
1737.17792.76095.33
3
1302.88344.57078.01
2
0,0'* 868.58896.38056.35
l
434.29448.19030.35
50
V
RECHERCHE DU NOMBRE.
a
Logd
a
Loga
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30102.99950.03981.19521.37388.95
47712.12547.19662.43729.50279.03
60205.99913.27902.39042.74777.89
69897.00043.36018.80478.62611.05
77815.12503.83643.63250.87667 98
84509.80400.14256.83071.22162.59
90308 . 99869 . 9 1 943 . 58564 . 1 2 1 66 . 84
95424 . 25094 . 39324 . 87459 . 00558 . 07
04130.26851.58225.04075.01999.71
07918 . 12460 . 47624 . 82772 . 25056 . 93
11394.33523.06836.76920.65051.58
14612.80356.78238.02592.59551.53
17609.12590.55681.24208.12890.09
2041 1 . 99826 . 55924 . 78085 . 49555 . 79
23044.89213.78273.92854.01698.94
25527 . 2505 1 . 03306 . 06980 . 37947 . 1
27875 . 36009 . 52828 . 96 1 53 . 63334 . 76
30102.99956.63981 . 19521 .37388.95
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
3222 1 . 92947 . 339 1 9 . 26800 . 7244 1 . 62
34242 . 26808 .22206 . 23596 . 39388 . 06
36172.78360.17592.87886.77771.12
38021.12417.11606.02293.62445.87
39794 . 00086 . 72037 . 60957 . 25222 . 1 1
4 1 497 . 33479 . 708 1 7 . 96442 . 02440 . 53
43136.37641.58987.31188.50837.10
44715.80313.42219.22113.96940.48
46239 . 79978 . 98956 . 08733 . 28467 . 63
47712.12547.19662.43729.50279.03
49136.16938.34272.67966.67041.00
50514. 99783 . 1 9905 . 97606 . 86944 . 74
51851.39308.77887.47804.52278.74
53147.89170.42255.12375.39087.89
54406 . 80443 . 50275 . 63549 . 84773 . 64
55630 . 25007 . 67287 . 2650 1 . 75335 . 96
56820 . 1 7240 . 66994 . 99680 . 84506 . 90
57978.35966.16810.15675.00723.70
59106.46070.26499.20650.15330.61
60205 .99913. 27962 . 39042 . 74777 . 89
7r = 3,14159.26535
- = 0,31830.98861
TT
7r'=9,86960. 44010
V/Ï= 1,77245. 38509
Log7r = 0,49714.98726
.89793
.83790
.89358
.05516
.94133
.23846.26433.83
.67153.77675.27
.61883.44910.00
.02729.31674.83
.85435.12682.88
— 51 —
V (Suite).
a
RECHERCHE
DU ]>
a
ÏOMBRË.
Loga
Loga
41
61278.38567.19735.49450.94118.50
71
85125.83487.19075.28609.28294.35
42
62324 . 92903 . 97900 . 46322 . 09830 . 57
72
85733.24964.31268.46023.12724.91
43
63346 . 84555 . 79586 . 52640 . 5088 1 . 53
73
86332 . 2860 1 . 20455 . 90 1 07 . 43869 . 00
44
64345 . 26764 . 86 I 87 . 43 1 1 7 . 76777 . 6 1
74
86923.17197.30976.19202.21895.84
45
6M21. 25137. 75343. 67937. 61369. 12
75
87506 . 12633 .91700 . 04686 . 75501 . 14
46
66275.78316.81574.07408.15160.07
76
88081.35922.80791.35196.38112.65
47
07209.78579.35717.46441.42193.99
77
88649.07251.72481.87146.24162.30
48
68124.12373.75587.21814.99834.82
78
89209.46026.90480.40171.52719.56
49
09019.60800.28513.66142.44325.17
79
89762.70912.90441.42799.48213.86
50
69897.00043.36018.80478.62611.05
80
90308.99869.91943.58564.12166.84
51
70757.01760.97936.36583.51977.98
81
90648.50188.78649.74918.01116.13
52
7 1 600 . 33436 . 34799 . 1 5963 . 39829 . 47
82
91381.38523.83716.68972.31507.45
53
72427 . 58696 . 00789 . 04563 . 29922 . 92
83
91907 . 80923 . 76073 . 90383 . 27603 . 52
54
73239 . 37598 . 22968 . 50709 . 88226 . 04
84
92427.92860.61881.65843.47219.51
55
74036 . 26894 . 94243 . 84553 . 646 1 . 77
85
92941.89257.14292.73332.64310.00
56
74818.80270.06200.41635.34329.43
86
93449.84512.43567.72161.88270.48
57
75587.48556.72491.39883.13613.79
87
93951.92526.18618.52462.78746.66
58
76342 . 79935 . 62937 . 28254 . 65856 . 58
88
94448. 26721. 5Ô168. 62639. 14166. 55
59
77085.20116.42144.19026.06563.85
89
94939 . 00066 . 44912 . 78472 . 35433 . 70
60
77815.12503.83643.63250.87667.98
90
95424 . 25094 . 39324 . 87459 . 00558 . 07
61
78532 . 98350 . 1 0767 . 03388 . 57485 . 1 4
91
95904.13923.21093.59991.87214.17
62
79239 . 16894 . 98253 . 87488 . 04429 . 95
92
96378 . 78273 . 45555 . 26929 . 52549 . 02
63
79934 . 05494 . 53581 . 70530 . 22720 . 65
93
96848.29485.53935.11696.17320.03
64
80617.99739.83887.17128.24333.68
94
97312 . 78535 . 99698 . 65962 . 19582 . 94
65
81291.33566.42855.57399.27662.63
95
97772 . 36052 . 88847 . 76632 . 25945 . 8 1
66
81954.39355.41868.67325.89667.69
96
98227 . 1 2330 . 39568 . 41336 . 37223 . 77
67
82607.48027.00826.43414.91316.29
97
98677.17342.66244.85178.43618.12
68
83250.89127.06236.31896.76476.84
98
99122.60756.92494.85663.81714.12
69
83884 . 90907 . 37255 . 3 1 6 1 6 . 28050 . 1 6
99
99563.51945.97549,91534.02557.78
70
84509 . 80400 . 1 4256 . 8307 1.22162.59
100
— 52' ■
VI
LO&ARITHMES DES FACTORIELLES.
, .
SOMMES DES L0GARITBME2
^DESN
n
OMBBES NATURELS.
SOMU
2n-i
ES DES LOG. DES NOMBRES IMPAIRS.
n
L0g(l.2.3 Il)
Log(i.2.3 n)
Log[i.3.5.7 (21—1)]
1
0.0
31
33,9 1 502. 1 7687.59992.30990
1
0,0
2
0,30102.99956.63981.19521
32
35,4201 7. 1 7470.79898.28597
3
0,47712.12547.19662.43730
3
0,77815.12503.83643.63251
33
36,93868.56869.57785.76401
5
1,17609.12590.55681.24208
4
1,38021.12417.11606.00294
34
38,47016.46040.00040.88777
7
2.02118.92990.69938.07279
5
2,07918.12460.47624.82772
35
40,01423.26483.50316.52326
9
2,97543.18085.09262.94738
6
2,85733.24964.31268.46023
36
41,57053.51491.17603.78828
11
4,01682.44936.67487.98813
7
3,70243.05364.45525.29094
37
43,13873.68731.84598.78509
13
5, 1 3076.78459.74324.75734
8
4,60552.05234.37468.87658
38
44,71852.04698.01408.94184
15
6,30685.91050.30005.99942
9
5,55976.30328.76793.75117
39
46,30958.50768.27908. 14834
17
7,53730.80264.08279.92796
10
6,55976.30328.76793.75117
40
47,91 164.50681.55870.53877
19
8,81606.16273.61 108.88950
11
7,60115.57180.35018.79192
41
49.52442.89248.75606.03328
21
1 0,1 3828.09220.05028. 15751
12
8,68033.69640.82643.6 1 965
42
51,14767.82152.73506.49650
23
1 1,50000.87581 . 1262 1 .03637
13
9,79428.03163.89480.38885
43
52,781 14.66708.53093.02290
25
12,89794.87667.84658.64595
14
10,94040.83520.67718.41478
44
54,42459.93473.39280.45408
27
1 4,3293 1 .25309.43645.95783
15
124 1649.961 1 1.23399.65686
45
56.07781.18611.14624.13346
29
15,79171.05288.42602.04510
16
13,32061.95937.79324.43772
46
57,74056.96927.96198.20754
31
1 7,28307.22226.76874.72483
17
14,55106.85151.57598.36626
47
59,41266.75507.31915.67195
33
18,80158.61625.54762.20288
18
1 5,80634. 1 0202.60904.43606
48
6 1 ,09390.8788 1 .07502.890 1
35
20,34565.42069.05037.83837
19
17,08509.46212.13733.39760
49
62,78410.48681.36016.55153
37
21,91385.59309.72032.83518
20
18,38612.46168.77714.59281
50
64,48307.48724.72035.3563 1
39
23,50492.05379.98532.04168
21
19,70834.39116.11633.86082
51
66. 1 9064.50485.6997 1 .722 1 5
41
25,11770.43947.18267.53619
22
21,05076.65924.33840.09678
52
67,90664.83922.04770.88178
43
26.751 17.28502.97854.06260
23
22,4 1 249.44284.5 1 432.97565
53
69,63092.42618.05559.92742
45
28.40438.53640.73 1 97.74 1 97
24
23,79270.56701.63038.99859
54
7 1 ,3633 1 .802 1 6.28528.43452
47
30.07648.32220.08915.20639
25
25,19064.56788.35076.60816
55
73,10368.07111.22722.28005
49
31,76667.93020.37428.86781
26
20.6056 1 .90268.05894.57258
56
74,85186.87381.28972.69641
51
33.47424.94781.35365.23365
27
28,03698.27909.64881.88446
57
76,60774.35938.01464.09524
53
35.19852.53477.36154.27928
28
29.48414.08223.07101.10560
58
78,37117.15873.64401.37778
55
36.93888.80372.30398.12482
29
30,94653.88202.06057.19294
59
80,14202.35990.06545.56804
57
38,69476.28929.02889.52365
30
32,42366.00749.25719.63023
60
81.92017.48493.90189.20055
59
40,46561.49045.45033.71301
- 53 —
VI (Suite).
LOGARITHMES DES FACTORIELLES. 1
SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS.
SOMMES DES L06. DES NOMBRES IMPAIRS. |
n
Log(i.2.3 n)
n
Log(i.a.3. .... n)
2n-i
Log[i.3.5.7 (3i-i)]
61
83.70550.46844.00956.23444
81
1 20,7632 1 .274 1 3.78242.40739
61
•
42,25094.47395.55800.74780
62
85.49789.63783.99210.10932*
82
122,67702.65937.61959.09712
63
44,05028.52890.09382.45310
63
87,29723.69233.52791.81462
83
1 24.596 1 0.4686 1 .38033.00095
65
45,86319.86456.52238.02709
64
89, 1 034 1 .08973.36678.98590
84
126,52038.3972 1 .999 14.65938
67
47,68927.34483.53064.46 1 24
65
90,91633.02539.79534.55990
85
1 28,44980.28979. 14207.3927 1
69
49.52812.25390.90319.77740
66
92,73587.41895.21403.23316
86
130,38430.13491.57775.11433
71
51,37938.08878.09395.06350
67
94,56194.89922.221229.66730
87
1 32.32382.060 1 7,70393.68896
73
53,24270.37479.29850.96457
68
96,39445.79049.28465.98627
88
134,26830.32739.26562.26535
75
55,11776.50113.21551.01144
69
98,23330.69956.6572 1 .30244
89
136,21769.32805.71475.05007
77
57,00425.57364.94032.88290
70
1 00,07840.50356.79978. 1 33 1 5
90
138,17193.57900.10799.92466'
79
58,90188.28277.84474.31089
71
101,92966.33843.90053.41924
91
140,13097.71823.31893.52458
81
60,8 1 036.78466.63 1 24.06007
72
1 03,78699.58808.3032 1 .87947
92
142,09470.50096.77448.79388
83
02,72944.59390.39197.96391
73
105,65031.87409.50777.78055
93
144,06324.79582.31383.91084
85
64.65886.48647.53490.09723
74
107,51955.04606.81753.97257
94
146,03637.58118.31082.57047
87.
66,59838.41 173.72109.22186
75
109,39461.17240.73454.01944
95
148,01409.94171.19930.33679
89-
68,54777.41240.17022.00059
76
111.27542.53163.54245.37140
96
149,99637.06501.59498.75015
91
70,50081.55163.38115.60650
77
1 13,10191.60415.26727.24286
97
151,98314.23844.25743.60194
93
72,47529.84048.92050.72347
78
1 15,05401.06442.17207.64458
98
1 53,97436.8460 1 . 1 8238.45857
95
74,45302.20701.80898.48979
79
1 16,95163.77355.07649.07257
99
155,97000.30547.15788.37391
97
76,43979.38044.47143.34157
80
1 18,85472.77224.99592.6582 1
100
157,97000.36547.15788.37391
99
78,43542.89990.44093.25691
■H-^lï
Loga: = /i(^a;- i )
h étant le module et n un nombre infini.
•
— 54
VII
LOGARITHMES II
POUR LES CALCULS D'INTERET COMPOSE ET «'ANNUITES. 1
r
Logr
r
Logr
100
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
101
-1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
102
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
00054.25290.92294.07367.23824.92
00108.43812.92219.91611.71633.59
00162.55582.86737.35618.33701.88
00216.60617.56507.67623.04206.38
00270.58933.75924.92872.50377.92
00324.50548. 1 3 1 47.05844.573 1 4.69
00378.35477.30126.83174.10397.35
00432.13737.82642.57427.51881.78
00485.85346.20328.71868.24118.62
00539.50318.86706.16353.88949.29
00593.08672. 1 92 1 2.44504.9 1 1 41 .64
00646.60422.49231.72283.13241.27
00700.05586.02124.58117.49914.14
00753.44178.97257,64713.11728.71
00806.762 1 7.48033.02678.5 1 358.57
00860.01717.61917.56104.89366.92
00913.20695.40471.90230.02049.45
00966.33166.79379.41318.20240.28
1 1 9.39 1 47.68474.88886.75605.39
01072.38653.91773.10408.19340.61
01125.31701.27497.18616.28426.58
01178.18305.48106.81543.04767.41
01230.98482.20326.25412.64910.72
103
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
104
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
105
1/8
1/4
3/8
1/2
5/8
3/4
7/8
01283.72247.05172.20517.10711.95
01336.39615.57981.50197.65334.01
1 389.00603.28438.63054.53948.54
01441.55225.60603.08507.04505.00
01494.03497.92936.55824.40940.24
01546.45435.58329.96747.39201.04
01598.81053.84130.31819.15436.68
01651.10367.92167.40543.15675.39
01703.33392.98780.35484.77218.42
1 755.50 1 44. 1 4844.00432.33857.27
01807.60636.45795.12732.39833.16
01859.64884.91658.49912.91203.31
01911.62904.47072.80707.27945.52
01963.54710.01316.40591.05711.26
02015.40àl6.38332.91942.326i8.10
02067.19738.36756.68935.73845.43
02118.92990.69938.07279.35052.67
02170.60088.05968.58902.44768.42
02222.21045.07705.91701.65891.34
02273.75876.32798.74451.77291.35
02325.24596.33711.46986.78192.35
02376.67219.57748.75755.80547.37
02428.03760.47079.94857.67974.17
02479.34233.38763.32657.13995.17
-log. w = 0,24857. 49363. 4'3
-log. 2 =0,15051.49978.31
-log. 271=0,39908. 99341. 7Ç
i log. ^=0.09805. 99385. K
fe--- 0,43429. 44819. 03251. 8S
^066.9271
990.59761
>057.5247
)076.3295
1765.1128
7.56341.44145.45
O. 68694. 47362.25
3.25035.91507.70
6.87646.96783.20
9.18916,60508.22944
— 55 —
VU (Suiif).
LOGARITHMES
1
POUR LES CALCDLS D'INTÉRÊT COMPOSE ET D'ANNUITES. il
r
Logr
r
Logr
106
02530.58652.64770.24084.67311.86
109
03742.64979.40623.63520.05133.08
1/8
02581.77032.52009.08721.27631.30
1/8
03792.42567.13626.14073.32009.34
1/4
02632.89387 .22349. 1 4768.52 1 43. 1 5
1/4
03842.14456.42459.44997.66327.99
3/8
02683.95730.92644.29003.501 11.18
3/8
03891.80660.30369.65942.97828.90
1/2
02734.96077.74756.528 1 7.4 11 84.44
1/2
03941.41191.76137.14315.56759.09
5/8
02785.90441.75579.44435.71943.92
5/8
03990.96063.74096.93258.68 1 1 1 .54
3/4
02836.78836.97061.47417.04869.83
3/4
04040.45289.14158.98020.62633.61
7/8
02887.61277.36229.05527.14337.03
7/8
04089.88880.81828.30789.75697.32
107
02938.37776.85209.64083.45412.39
110
04139.26851.58225.04075.01999.71
1/8
02989.08349.3 1 254.57865. 13130.11
1/8
04188.59214.20104.32710.11511.05
1/4
03039.73008.56761.85682.42552.43
1/4
04237.85981.39876.14558.70105.34
3/8
03090.3 1 768.39298.7 1 698.73275.28
3/8
04287.07165.85624.99997.46886.89
1/2
03 1 40.84642.5 1 624. 1 3597.76 1 03.64
1/2
04336.22780.21129.50253.29361.58
5/8
03191.31644.61711.17687.54393.28
5/8
04385.32837.05881.84670.07287.09
3/4
03241.72788.32769.21032.28025.37
3/4
04434.37348.95107.16980.26267.00
7/8
03292.08087.23266.00702.24141.86
7/8
04483.36328.39782.80655.52923.31
108
03342.37554.86949.7023 1 .256 1 4.99
111
04532.29787.86657.43410.34785.93
1/8
03392.61204.72870.63370.55746.80
1/8
04581.17739.78270.10931.79869.96
1/4
03442.79050.25403.05227.05886.60
1/4
04630.00 1 96.52969. 1 9908.23266.86
3/8
03492.9 1 1 04.84266.70873.4 1 5 1 0.08
3/8
04678.77 1 70.4493 1 .20428.90949.00
1/2
03542.97381.84548.31516.51814.64
1/2
04727.48673.84179.47826.14373.22
5/8
03592.97894.56722.88310.38046.74
5/8
04776.14718.96602.84030.93361.91
3/4
03642.92656.26674.93898.66579.82.
3/4
04824.753 1 8.03974.085 1 2.49 1 36.50
7/8
03692.81680.15719.61771.44201.03
7/8
04873.30483.23968.3887 1 .5427 1.13
Log(.+
')-'(-?-?-?-■)
Log.^-d
S-'(^è-si--)
Log(.T-f
JN — loi-V 1 jlF ^ , ' ( '' V
H
■d) <og*-t-»*[„^j 1 3^,,^^; ■
Logx=^
[log {x+i) + log (x - I )] + ^ [log [x
+ i)-log
, ,1 k 2k 3it
JOHN G. WOLBACH.Ur.P'^nY
HARVARD COLLfE CiE O ' '■< u a i OflY
eO QARDEW STREl£ f
3 2044 060 019 213
JOHN Q. WOLBACH LIBRARY
HARVARD COLLEGE OB«WVATC«Y
80 (MnOGN 8TN6ET
CAMBROOC. MASS. 0»tS8